Sputnik gav oss mängdläran

Publicerad i Forskning & framsteg 3/2012

Böckerna hade namn som Apa, Kamel, Abborre och Kastanj. De var fulla av färgglada bilder med frukter som skulle ringas in och pilar som skulle ritas på tallinjer. Mängdläran skakade om 1970-talets skola och blev ett monumentalt fiasko. Men utan Sputnik och kapplöpningen i rymden hade den aldrig införts.

– Ned med Euklides!
Stridsropet skallade – mängdlära till alla. Under 15 år från slutet av 1950-talet till början av 1970-talet spred sig mängdläran som en löpeld genom Västvärlden, blev grunden för matematikundervisningen redan från lågstadiet i land efter land. Men dess saga blev kort. När Sveriges elever mötte den i lärobokserien Hej Matematik! hösten 1970 var den redan på väg ut i pionjärlandet USA.
Startskottet knallade den 4 oktober 1957. Då sköt Sovjet upp den första satelliten och inledde rymdkapplöpningen med USA. Amerikanerna som tagits på sängen tvingades inse att de ”primitiva” ryssarna var överlägsna i naturvetenskap och matematik. Motdraget blev att vässa utbildningen. En särskild lag 1958 gav pengar till matematisk och naturvetenskaplig forskning och utbildning som direkt kunde hjälpa försvar och rymdindustri.
– Det var inte Sputnikkrisen som drog igång mängdläran, det var pengarna som kom. Plötsligt hängde en satellit över de amerikanska storstäderna, kanske med kärnvapen ombord. Då blev det en jäkla fart och många som hade idéer – som den nya matematiken, baserad på mängdlära – fick möjlighet att lansera dem, säger professor Bengt Johansson, chef för Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM, vid Göteborgs universitet.
Just Sputnikåret 1957 tillsatte den svenska regeringen en skolberedning med uppdrag att staka ut riktlinjerna för den nioåriga enhetsskola som beslutats 1950. Resultatet blev grundskolan, som sjösattes 1962. Det var i grundskolans andra läroplan, lgr69, som mängdläran dök upp för första gången.
Den nämns inte i själva läroplanen, utan först i ämnessupplementet för matematik. Men redan 1966 hade den tagits upp i Skolöverstyrelsens skrift Matematikterminologi i skolan – som första punkt: ”En mängd kan beskrivas som en sammanfattning av objekt vilka då kallas mängdens element.” Sedan följde begrepp som tomma mängden, delmängd, union, snitt och disjunkta mängder.

Skolöverstyrelsen poängterade att förteckningen inte skulle uppfattas som normgivande för matematikkursens omfattning: ”Att ett begrepp finns upptaget i förteckningen innebär ej att det behöver ingå i skolkursen.”
Men mängdläran blev basen för den nya skolmatten.
På svenska elevers bänkar damp nu ned något vars like ingen tidigare skådat. En rikligt färglagd bok med muntra apor i lianer på omslaget. Sedan följde sida upp och sida ned med illustrationer i samma anda som figurerna i teveprogrammet Fem myror är fler än fyra elefanter – glada och goa i bjärta färger. Det var äpplen, päron och bananer. Man skulle göra en ring kring frukter av samma slag. Djur skulle paras ihop med rätt bostad: hund-hundkoja, fisk-akvarium, fågel-bur och så vidare.
Inget 1+1=2. Nej, inte ett räknetal så långt ögat nådde! Först efter halva häftet smögs siffrorna in, en efter en – fast i lite omkastad ordning: 1, 4, 2, 5, 3. Sedan kom räkneoperatorerna plus och minus, därefter operatorerna =, < och >.
En bärande tanke var att eleverna själva skulle välja häften och uppgifter efter sin nivå, följa sin egen bana genom materialet. Det fanns även ett omfattande bredvidmaterial av trästavar som representerade talen ett, tio respektive hundra, bingobrickor, kort- och tärningsspel och overhead-presentationer.
För att förankra nymodigheterna gjordes en massiv utbildningsinsats. Böcker som Nya matematiken för föräldrar togs fram och föräldrarna erbjöds även brevkurser. I det kolossala Deltaprojketet – ett samarbete mellan Skolöverstyrelsen, Sveriges Radio och Hermods korrespondensinstitut som gav ut Hej matematik – fortbildades landets alla låg- och mellanstadielärare samt ämneslärare på högstadiet, 45 000 inalles.

Men många hade ändå svårt att förstå. Allt det nya var fjärran från folk- och realskolans matte med addition, subtraktion och multiplikation i prydliga tabeller att lära sig utantill. I stället blandades tal från olika tabeller fritt. Borta var de praktiskt inriktade räknetalen av typen: Om en burk kaffe kostar 75 öre och Olle köper sex stycken, hur mycket får han då tillbaka på fem kronor? Divisionens stol ersattes med en omvänd trappa, vilket få förstod vitsen med.
I högre årskurser slopades kägelsnitt och andra illustrativa härledningar av funktioner. Begreppen skulle nu inses utifrån ett antal obevisbara grundsatser, axiom. Räkning med andra baser än tio infördes, en förberedelse för hexadecimal programmering av datorer.
Men kruxet var att de teoretiska begreppen infördes redan i årskurs ett. ”Symbolspråket kan ibland ersätta tunga och oöverskådliga verbala formuleringar”, heter det i lgr69. Även de små ettagluttarna fick alltså bekanta sig med termer som mängd, delmängd och element. De drillades i att säga ”sant” och ”falskt” om utsagor. En avancerad terminologi smögs tidigt in i de till synes enkla övningarna att ringa in päron.
Hej matematiks uppdelning på ett otal häften var också något helt nytt – serien bestod av över 100 böcker från årskurs ett till nio! Det var fem grundhäften per årskurs, tre fördjupningshäften, lärarhandledningar, facitböcker och provräkningar. På högstadiet fanns olika böcker för särskild och allmän kurs, och efter kritikstormen kom särskilda häften för lågpresterande elever.
Dessutom fick man skriva i böckerna, de var förbrukningsvara som skulle behållas. Den översattes till flera språk, bland annat grönländska. Hej matematik blev inte bara Hermods kassako, som räddade förlaget från bankrutt sedan korrespondenskursernas glans falnat – den gjorde också författarna stormrika. Maken till lärobokssuccé har sällan skådats vare sig förr eller senare.

Mängdläran var en viktig byggsten i den nya matematiken, New Math, som formades i USA i början av 1950-talet. Matematiker vid Stanford och University of Illinois drev linjen att studenterna skulle ges en förståelse av matematiken snarare än att drillas med tabeller och lära sig svar utantill. Det var viktigt med insikter i matematikens grunder och begrepp. Där kom mängdläran in i bilden.
Tanken hämtades från en grupp franska matematiker, bourbakisterna, som ville ställa matematikundervisningen vid landets universitet på en solid teoretisk grund. Och den tanken fick vingar när Sputnik sköts upp.
Omdaningen av västvärldens matematikutbildning tog fart i och med en konferens på slottet Royaumont utanför Paris i november 1959. Där diskuterade amerikanska och europeiska forskare vilka krav som bör ställas på framtidens utbildning i matematik.
En av de tongivande deltagarna var bourbakisten Jean Dieudonné, som lanserade den nya matematikens stridsrop:
– Ned med Euklides!
Det vill säga att den euklidiska geometrin, som legat till grund för matematikundervisningen sedan antikens dagar, inte längre var giltig. Modern matematik skulle byggas upp med logiska begrepp utifrån en rad abstrakta axiom.
– Två svenskar var med i Royaumont, Lennart Sandgren och professor Otto Frostman. Sandgren höll sig mycket i bakgrunden, men hade en ledande roll när den nya matematiken infördes. Han skrev läroböcker för universitetens grundutbildning i matematik och blev statssekreterare hos utbildningsminister Olof Palme, säger Bengt Johansson vid NCM.
Sandgren blev sedermera bland annat generaldirektör och två gånger landshövding under en lång ämbetsmannakarriär.
Den nya matematiken anammades av Nordiska kommittén för modernisering av matematikundervisningen, som bildades året efter Rouyamont. Kommitténs rapport 1967 blev den murbräcka som banade väg för mängdläran i Norden.
Samma år kom en internationell rapport där svenska högstadieelever hade näst sämst mattekunskaper i en jämförelse mellan 13 länder. Politikerna fick skrämselhicka och 1968 lade Olof Palme en proposition om att införa den nya matematiken i grundskolan. Men han bytte snabbt fot. Redan under valrörelsen 1974 sade han i en teveintervju att elevernas dåliga mattekunskaper berodde på mängdläran.

Både nya matematiken och den svenska grundskolan motiverades med att utbildningsväsendet var föråldrat och oförmöget att ge eleverna de kunskaper som fordrades i en mer tekniskt avancerad, automatiserad och föränderlig värld.
– Det var ett helt nytt sätt att se på matematiken. Man ville prägla eleverna med en annan begreppsförståelse, att de skulle kunna matematiken från grunden, säger Stefan Alsnäs som var med och tog fram sista upplagan av Hej matematik och sedan efterföljaren Alfa.
– Man trodde att matematiken skulle bli lättare om man hade ett klart och konsekvent språk. Via mängdläran skulle man få in ett mer logiskt tänkande hos eleverna, säger Sven-Erik Gode som arbetade på Skolöverstyrelsen när mängdläran sedan fasades ut i slutet av 1970-talet.
Men kritiken lät inte vänta på sig. Framför allt var det högstadielärare och föräldrar som gick i taket. Den nya matematiken och sättet den presenterades på i Hej matematik skilde sig radikalt från den matte de själva var vana vid. Och kursplanen var mycket diger. Mängdläran var visserligen bara ett moment, men den gick eleverna långt över huvudet.
Redan 1968 protesterade läroboksförfattaren Sven Lindström skarpt i sin bok Överteoretisering av den elementära matematikutbildningen: ”Genom en kort åskådlig demonstration avser man att visa innebörden av abstrakta matematiska begrepp såsom mängd, tom mängd, element osv. Talen används i abstrakt form enligt matematiska lagar, t ex kommutativa lagen. Syftet är alltså att redan på nybörjarstadiet ge matematiken samma teorietiska karaktär som på universitetsstadiet.”
Han påpekar att det bara är ett fåtal elever med ”högt utvecklad abstraktionsförmåga” som klarar att ta till sig detta, medan övriga lämnas därhän. Lindström hänvisar till en lektor vid tekniskt gymnasium, som anser att mängdlära, boolesk algebra och den matematiska logiken enbart är av intresse för den som studerar datorkretsar. Men bara ett litet fåtal elever blir forskare, poängterar Lindström.

Ganska snart kom även anklagelser om att den nya matematiken införts närmast kuppartat av en snäv krets inom framför allt Skolöverstyrelsen som smugit in den bakvägen via supplement och föreskrifter.
På de anklagades bänk satt mängdlärans grå eminens, Lennart Sandgren, tillsammans med bland andra författarna till Hej matematik, Matts Håstad, Curt Öreberg och Leif Svensson, alla tre med ett förflutet på Skolöverstyrelsen. Matts Håstad var sekreterare för Nordiska kommittén för modern matematik innan han blev medlem i den läroplansgrupp som spikade matematikens utformning i lgr69. Alla tre var djupt involverade i förarbetena till den nya skolmatten innan de kastade han loss för att skriva Hej matematik.
– Hur kom det sig att man satte igång det här jätteprojektet med nya begrepp och symboler som skulle genomsyra skolan från årskurs ett? frågar sig Johan Prytz vid Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier på Uppsala universitet, som tidigare forskat om skolmatematiken fram till 1950 och just påbörjat ett fyraårigt forskningsprojekt om skolmattens 1900-talshistoria.
Att 1970-talets nya skolmatte blev så radikal och att projektet drevs igenom så snabbt har till viss del att göra med att relativt få personer hade makt över skolmatematiken, tror han. Det var inte så många som behövde övertygas. Men det var inte unikt för 1950- och 1960-talen, utan så var det även tidigare, framhåller han. Däremot fanns en annan viktig skillnad.
– Mina preliminära studier tyder på att före 1950 var det framför allt läroboksförfattarna som hade kontroll över innehållet, bland annat eftersom kursplanerna var så kortfattade. De hade stor frihet att välja innehåll och inriktning, mer teoretisk eller mer praktisk, samt omfattning och ordning på olika moment. Läroboksförfattarna var dock beroende av lärarna. När en lärare valde en lärobok, så var det också ett slags erkännande av författarens förmåga att välja innehåll och designa läroböcker. Det kan ha bromsat mer radikala försök till förändring. Denna struktur förändrades med de detaljerade läroplaner som framför allt kom på 1960-talet. En kursplaneförfattare står inte i samma beroendeförhållande till lärarna, säger Johan Prytz.
I sin doktorsavhandling från 1978, Matematikutbildningen från grundskola till teknisk högskola i går – i dag – i morgon, tillbakavisar Matts Håstad häftigt kuppanklagelserna som ”grovt osakliga och ibland pinsamt insinuanta”. Däremot medger han att lärarna fick rätt i sin kritik och sammanfattar: ”Stoffet var för omfattande och teoretiskt. Räknefärdigheten sjönk för mycket. Läromedlen för allmän och särskild kurs var för dåliga. Det var för svårt med räknesticka i allmän kurs. Mängdlära var helt överflödig.”
Steg för steg tunnades de teoretiska inslagen ut och fler räkneövningar kom in. Paketet Hej matematik fick inslaget Min matematik, för de lärare som ville bedriva ”en friare matematikundervisning utan att vara alltför bundna av läromedlet”. Eller som det heter i lärarboken till en av Hej matematiks senare upplagor:
”Det är därför enligt vår mening angeläget att eleverna förutom arbetet i det tryckta materialet också får skriva, rita, klippa, klistra etc i ett eget räknehäfte – göra sin egen matematik. På så sätt tar man vara på och utvecklar den naturliga kreativitet som de flesta barn är rikt utrustade med när de börjar skolan. Arbetsglädjen blir större, inlärningen effektivare.”
Den terminologi och pedagogik som SÖ fört fram som framtidsmatten hade, efter bara fem år, blivit ett mer eller mindre frivilligt inslag – även i de läromedel som tagits fram av dem som hårt propagerat för den nya matematiken på Skolöverstyrelsen.

Den nya matematikens saga blev kort. Från mitten av 1970-talet övergav land efter land, anförda av USA, mängdläran och i slutet av årtiondet var den död. In kom krav på baskunskaper som de fyra räknesätten. En ny internationell undersökning 1980 visade att mängdläran inte hade lyckats rycka upp de svenska högstadieeleverna från bottenplaceringen. Däremot ledde inriktningen på basfärdigheter till att de åter klättrade i rankning med toppar 1995 och 2000. Men sedan vände det utför igen.
– Det är framför allt bristen på lärarledd undervisning som setts som förklaringen under 1990-talet, en individualisering av utbildningen, säger Johan Prytz.
Men en del av den nya matematikens tankegods finns kvar än i dag.
– Åtminstone fram till 1990-talet finns banor genom läroböckerna: man jobbar igenom ett visst antal sidor, gör en diagnos och beroende på resultatet hoppar man till en svårare del om det gått bra, annars repeterar man.
Det praktiska bredvidmaterialet samt att eleverna ska studera i sin egen takt efter egen förmåga, lever också kvar i viss mån. Men att på nytt försöka ställa grundskolans matematikundervisning på en teoretisk grund är inte politiskt gångbart. Därtill har mängdlärans praktfiasko ett alltför starkt symbolvärde.
När utbildningsminister Jan Björklund i höstas presenterade matematiklyftet för grundskolan för att bryta den nedåtgående trenden var receptet i stället fler matematiktimmar på schemat, mer katederundervisning och fler behöriga lärare.

Mats Karlsson

Bakgrund: Bourbakisterna vässade mängdläran
Mängdteori, i skolmatematiken kallad mängdlära, är en gren av matematiken som skapades på 1870-talet av den tyske matematikern Georg Cantor (1845-1918). Han ville jämföra storleken på oändliga mängder och bevisade bland annat att det finns fler reella tal än heltal. Han införde kardinaltal som mått på ouppräkneliga mängders storlek.
Mängdteorin har sedan förädlats och byggts upp kring system av axiom. Den har blivit en av matematikens grundpelare, ett slags ”universalspråk” med vilket man kan definiera begrepp inom olika grenar av matematiken.
Bourbakisterna är en fransk sammanslutning av matematiker som bildades 1934 med målet att reformera den föråldrade och auktoritetsstyrda matematiska universitetsutbildningen i Frankrike. Namnet kommer av den pseudonym, Nicolas Bourbaki, under vilken kollektivet publicerar sina verk – en serie böcker om olika grenar av matematiken.
Bourbakisterna ville ställa matematiken på en gemensam solid logisk grund. Mängdteorin blev utgångspunkten, men det dröjde ända till 1954 innan detta inledande avsnitt var färdigt. På vägen löste gruppen en rad problem med mängdteorin och införde symboler och begrepp som i dag är hävdvunna.
Bourbakisterna har kritiserats för att vara ”skoningslöst abstrakta” och just böckerna om mängdteori har fått särskilt mycket kritik. De axiomsystem som bourbakisterna valde att utgå ifrån används inte som grund för dagens mängdteori.

 Mats Karlsson

Annonser